Може да се докаже, че първоначалните и централните моменти са съобразени емпирични оценките съответно първични и теоретични централни точки от един и същи ред. Това се основава на метода на моменти, предложени от Карл Pearson. Предимството на метода - сравнителната простота. Методът на моменти момент за оценка на неизвестните параметри се дава разпределителни пунктове, равняващи теоретична внимание съответните точки емпирични разпространение на същия ред.
А. Оценка на един параметър. При един изглед F на разпределение плътност (х, # 952), определена от един неизвестен параметър # 952;. Искаш ли да се намери момент за оценка на даден параметър # 952; ,
За да изчислите един параметър е достатъчно, за да има едно уравнение по отношение на този параметър. Следвайки метода на моменти, приравняваме, например, първоначално теоретично момента на първия ред момента на първоначалното емпирични първи ред: # 957; 1 = M1. Като се има предвид, че # 957; 1 = М (X) (виж глава VIII, § 10 ..) = M1 (виж глава XVII, § 2 ..), получаваме
Очакванията на М (X), както се вижда от отношението
е функция на # 952;. Следователно (*) може да се счита като уравнение с един неизвестен # 952;. Решаването на това уравнение по отношение на параметъра # 952;. като по този начин намери своето момент за оценка # 952; * Който е функция на селективна среда, следователно изпълнението на пробата:
Пример 1. Виж метода на моменти за x1 проба, х2. хп точка оценка на неизвестния параметър # 955;, експоненциалното разпределение, чиято плътност функция (х ≥0).
Решение. Ние приравняваме първоначалната теоретична момента на първия ред първоначална емпирични момента на първия ред: # 957; 1 = M1. Като се има предвид. М1 =, получаваме
Като се има предвид, че очакването на експоненциалното разпределение е 1 / # 955; (Вж. Глава. XIII, § 3), ние имаме
Така че, оценката точка на неизвестния параметър # 955; експоненциално разпределение е равен на реципрочната стойност на средната стойност на пробата:
В. Оценка на два параметъра. При един изглед на разпределението на F плътност (х; # 952; 1. # 952; 2) определя от неизвестни параметри # 952; 1 и # 952; 2. За да намерите двата параметъра трябва две уравнения за тези параметри. Следвайки метода на моменти, приравняваме, например, първоначално теоретично момента на първия ред първоначална емпиричен път на първия ред и теоретичен централна точка на втория ред централната момента на втория ред на палеца:
Очакване и вариацията са функции на # 952; 1 и # 952; 2. Следователно (**) може да се разглежда като система от две уравнения с две неизвестни # 952; 1 и # 952; 2. Решаването на тази система по отношение на неизвестните параметри и по този начин да получи своите изчисления на точки # 952; 1 * и # 952; 2 *. Тези оценки са функции от пробата за изпълнение:
Пример 2. Виж метода на моменти за x1 проба, х2. хп оценки на точката на неизвестни параметри Са и # 963; нормалното разпределение
Решение. Приравняването на теоретични и емпирични началните моменти на първия ред, а също и на централната и емпирични моменти от втори ред:
Като се има предвид, че очакването на нормално разпределение е равен на параметър, дисперсията е # 963; 2 (.. Виж глава XII, § 2), ние имаме:
По този начин, на желаните оценки на точката на параметрите на нормалното разпределение:
Забележка 1. За оценките на неизвестните параметри може да се приравни не само точките, но също и в зависимост от момента. По-специално, това се получава чрез последователни характеристики оценки за разпространение, които са функции на теоретичните точки. Например, асиметрия на теоретичното разпространение (вж. Chap. XII, § 9)
е функция на централните точки на втория и третия поръчките. Подмяна на тези теоретични точки, съответстващи емпирични моменти, ние се получи момент за оценка на асиметрия
Забележка 2. Като се има предвид, че. последната формула може да се запише като
На следващо място, тази оценка се приема като определение на асиметрията на емпиричното разпределение (вж. Гл. XVII, § 9).
Свързани статии