- ранг няма да се промени, ако нейните редове (колони), за да се прилагат елементарни преобразувания.
- Място пристъпи матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове.
Методи за определяне на ранга на матрица
Метод на елементарни трансформации
Използване на свойствата на матрицата, свързани с нейното място в класацията ранг получава метода за изчисление на най-често използваните в практиката.
Място е броят на ненулеви матрични редове след привеждане на матрицата да ешелон форма, като се използва елементарен трансформация на редовете и колоните на матрицата.
Лице метод непълнолетни
Рангът на матрицата е най-високата цел различна от нула непълнолетния.
Ако матрицата е намерена ненулева малка к-тия ред М. разглежда всички непълнолетни (к + 1) -ти ред, включително (съпътстващи) Мала М; ако всички те са равни на нула, а след това в ранг, равен на к. Ако има различна от нула, а след това цялата процедура се повтаря между граничещи непълнолетни.
Изчислява ранга на матрицата, при което
Познаването на матрица ранг ще повишите ранга си =)
В днешния урок, ние ще въведем понятието алгебрични ранг на матрицата. научат да се намери ранга на метода на матрица от навътре в непълнолетните и метод на Гаус. и разгледа теми важно практическо приложение: Изследването на системата от линейни уравнения в ставата.
Какво е ранга на матрицата?
В епиграф хумористичен статия съдържа много истина. имаме "статут" на думата обикновено се свързва с определена йерархия, най-често от редиците. Колкото повече човек с познания, опит, умения, връзкарството и т.н. - колкото по-високо положение и граници на възможности. Казано с младежта, и от ранга на генерала означава степента на "стръмнина".
И нашите братя математически живо на същите принципи. Ние извлече разходка в известна степен произволни нулеви матрици:
Нека помислим, ако всички нули в матрицата. тогава какъв ранг може да бъде реч? Всеки знае, че неформалната терминът "завърши нула." Обществото на матрици всичко по същия начин:
Място нулев размер matritsylyubyh е нула.
Забележка: нула матрицата се означава с гръцката буква "тета"
За да се разбере по-добре от ранга на тук и аз ще продължа да пренасят продукти за помощ аналитична геометрия. Помислете за нула вектора на нашето триизмерно пространство, което не иска определена посока и е безполезна за изграждане на афинно основа. От алгебрична гледна точка, координатите на вектора, съхранявани в матрица от "един от трите" и логично (в геометричния смисъл на думата) се предположи, че ранга на тази матрица е равна на нула.
Сега нека разгледаме няколко nenulevyhvektorov вектори на колоните и редовете:
Във всеки от случаите има поне един ненулев елемент, а това е нещо!
Място всеки ненулев вектор-ред (колона вектор) е равна на единица
И като цяло - ако matritseproizvolnyh размери имат поне един ненулев елемент, то тогава rangne по-малко от един.
Алгебрични ред вектори и колона вектори в известна степен абстрактно, обаче Позовавайки се отново на геометричната асоциация. Ненулев вектор определя съвсем определена посока в пространството и е подходящ за postroeniyabazisa. така че е взето от ранга на матрицата да бъде единство.
Теоретични основи: линейната алгебра вектор - елемент от пространството на вектор (определена от аксиоми 8), които по-специално могат да бъдат подредени ред (или колона) важи за тях длета определени операции slozheniyai умножаване с реално число. За повече информация относно вектори могат да бъдат намерени в stateLineynye реализация.
Помислете матрицата. където редовете са линейно зависими (изразени по отношение на всеки друг). От геометрична гледна точка на втория ред на колинеарни вектор на координати записва. което по никакъв начин не напреднали основа на въпрос postroeniitrohmernogo. Именно в този смисъл излишно. По този начин, от ранга на тази матрица е равен на единица.
Препишете координатите на векторите в колони (транспониране матрица):
Какво се е променило по отношение на ранга? Няма нищо. Колоните са пропорционални, а след това в ранг е равен на единица. Между другото, имайте предвид, че и трите линии също са пропорционални. Те могат да се определят координатите на три колинеарни вектори на равнината, един от kotoryhtolko полезен за изграждане на "плосък" основа. Това е в пълно съответствие с нашата геометричен смисъл на ранг.
От горния пример следното важен резултат:
Място матрица на редовете е равен на ранга на матрицата от колони. Това е, което вече споменах малко в клас по-ефективни методи за изчисляване на определящ фактор.
Забележка линейната зависимост на линиите трябва да бъде линейна зависимост на колоните (или обратното). Но, за да се спести време, и по навик съм почти винаги ще се говори за линейна зависимост на линиите.
Ние продължаваме да се обучават нашия любим домашен любимец. Добави трета линия до матрицата координират по един колинеарни вектори:
ако той ни помогна в изграждането на триизмерна база? Разбира се, не. И трите вектори се разхождат напред-назад по една и съща писта, и ранга на матрицата е равен на единица. Можете да вземете произволен брой колинеарни вектори, да речем, 100, поставят своите координати в матрицата "за триста" и ранга на небостъргача ще продължи да бъде единен.
Запознайте се с матрицата. където редовете са линейно независими. Чифт не-колинеарни вектори, подходящи за изграждане на триизмерна база. Рангът на тази матрица е равна на две.
И какъв е ранга на матрицата. Линии обичат ... не пропорционални, следователно, на теория три. Въпреки това, от ранга на тази матрица е равна на две. Сгънах първите два реда и пише в долната част на резултата, който се изразява чрез линейно третия ред на първите две. Геометрично, редовете на матрицата съответстват на координатите на три копланарни вектори. Освен това, има двойка от не-колинеарни другари между триото.
Както можете да видите, линейната зависимост от разглеждания матрицата не е очевидна, а днес ние просто се научи да оттегли "чиста вода".
Мисля, че много хора осъзнават какво чин!
Помислете матрицата. където редовете са линейно независими. Афинитет вектори представляват основа. и ранга на тази матрица е равна на три.
Както знаете, всеки четвърти, пети, десети вектор триизмерното пространство е линейно изразена по отношение на базисни вектори. Ето защо, ако матрицата, за да добавите произволен брой редове, рангът й все още ще бъде равна на три.
Подобни аргументи могат да бъдат направени за голям размер матрици (разбира се, без геометричната смисъла).
Определение. ранг - максималния брой линейно независими редове. Или в ранг - максималния брой линейно независими колони. Да, броят им е винаги една и съща.
От горното следва също така да бъде важен практически насоки: в ранг не надвишава неговия минимален размер. Например, в матрица от четири реда и пет колони. Минималният размер - четири следователно ранга на матрицата не е известно да надмине 4.
Наименования. в света на теория и практика, няма общоприето стандарт за обозначаване на ранга на матрицата, може да се намери най-често - както се казва, един англичанин пише един германски другия. Затова нека след известен анекдот за американския и руски дяволите означаваме ранга на майчиния език. Например :. И ако матрицата "Безименна", на което се случи много, можете просто да напишете.
Свързани статии