Помислете за набора от всички молекули в атмосферата. Този комплект съдържа голям брой елементи (приблизително 1.02 77,010,541 0), но е ограничен, т.е. има постоянно, че е по-голям от броя на елементите на този комплект. В допълнение към курса, има безкрайни множества. Една от целите, определени от теориите е, за да се определи броя на елементите в комплекта, както и изследването на въпроса за сравнение с друг два комплекта от броя на елементите.
За крайни групи от много по-различен характер на този проблем се решава лесно чрез директно изчисление. За определя безкраен въпроса за сравнение не е възможно да се реши как да се сложи край, като се преброяват. Затова Cantor предложи да се сравняват два определя безкраен да се създаде едно-към-едно (биективен) съотнасянето между тях. Да разгледаме примери за създаване на карти.
Пример 1. Както е А помисли интервала на брой линия, нека А = (- 1, 1), както и множество V - набор от реални числа R. Това определя една и съща мощност, тъй като F картографиране (х) = TG (пиксела / 2), хÎИ това ви позволява да настроите между изисква едно-към-едно кореспонденция.
Пример 2. Нека А = [-1,1], В = (-1,1). Изграждане на картата е. А ® В чрез следната зависимост: A изберете в последователност 1, 1, 1/2, 1/3, 1/4. 1 / п и да е (-1) = 1/2, е (1) = 1/3, F (1/2) = 1/4, F (1/3) = 1/5, т.е. е (1 / п) = 1 / (п + 2), и всички точки не са включени в тази карта последователността в себе си, т.е. е (х) = = х. Следователно, на открито и затворен интервали еквивалент.
Кардиналност е обобщение на броя на елементите на комплекта. Ако инсталиран биективен картографиране комплекта, а след това, по дефиниция, и в двете групи от същия брой елементи или множество от мощност, равна на силата на друг набор.
Мощност - това е общата сума, която има два равностойни комплекти. Множество мощност е означен m (А) или | А |. Така, m (А) = М (В): Ако
Ако множество А е еквивалентно на някои подмножество на серия В, изходното А не е по-голям капацитет В (т.е., т (А) £ m (В)). Ако серията Б не са еквивалентни на всяка подгрупа на комплект А, тогава m (А) Най-простият сред определя безкраен е съвкупност от естествени числа N. ОПРЕДЕЛЯНЕ. Ние наричаме множеството от всички броим равностоен набор от Н. С други думи, броене е всеки набор чиито елементи може да се брои или да ги безкраен последователност. Примери изброимо множество. 1. набор от числа Z = .Postroim последователност на нейните елементи: А1 = 0; а2 = 1; а3 = 1; a4 = -2; А5 = 2. Формулата за изчисляване на изискванията за общ термин може да се запише като 2. определя Q на всички рационални числа. Нека докажем countability на снимачната площадка. Както е известно, рационалните номера - фракция от форма р / р, където рÎZ. рÎН. Ние ще ги напиша в таблица на един безкраен брой редове и колони От тази таблица на елементите за конструиране на последователност от следните правило а1 = 0/1; а2 = 1/1; а3 = -1 / 1; a4 = 1/2; А5 = -2 / 1; a6 = 2/1 и т.н. се движи в посоката, указана със стрелки. Очевидно е, че в тази последователност ще включва всички рационални числа. Освен това, много от цифрите ще се повтори в него. Ето защо, Мощност на множество елементи на тази последователност не е по-малка от силата на снимачната площадка на рационални числа. От друга страна, това е еквивалентно на последователност от естествени числа, т.е. подмножество на Q. и поради това не може да има капацитет над Q. По този начин, на снимачната площадка на рационални числа е броим. Един безкраен брой не-броим се нарича несметен. 1. Всяка подгрупа от изброимо множество е ограничен или изброимо. Доказателство. Нека A - изброимо множество и БÍА. Тъй като А е изброимо, тогава се изброят нейните елементи и изграждане на последователност от тях От тази последователност, изберете всички елементи, принадлежащи към определен В, т.е. разгледа последователността В следните случаи: 1) комплект В е ограничен; 2) множество B безкраен. Тъй като елементи на В са номерирани, във втория случай е изброимо, QED. 2. Съюзът на който и да е краен или изброимо множество изброимо множество отново броенето. Доказателство. Нека комплекти А1. А2. AN. - броене. Ако броят им е не повече от изброимо, комплектите могат да бъдат номерирани и организират елементи, принадлежащи към тях в таблицата Нека B =. Construct последователност, така както това е направено в т. 4 доказателство броим Q. Ако разединена определя Гай (Ai Çай ¹Æ), Последователността (1) не включва тези елементи, които вече са преброени. По този начин, вграден един съответствието между наборите от В и N. Следователно, серия В е изброимо. 3. Всеки безкраен набор съдържа изброимо подмножество. Доказателство. Нека M - всеки безкраен набор. Ние избираме то е произволно първия елемент и обозначена с А1. след това - а2 елемент и т.н. Ние получи а1 последователност. А2. които не могат да прекъсне в определен елемент, тъй като М е безкраен. Следователно, тази последователност образува част от броимо М. Тази теорема ни дава възможност да се каже, че изброимо множество е най-много сред безкрайните множества "малък". Ако устройството е ограничен или броим ние казваме, че не е повече от изброимо. Тези примери и свойства могат да създават впечатлението, че всички определя безкраен са броими. Все пак, това не е така, и да докажат това е достатъчно да се изгради Контрапример, т.е. да произвеждат безкраен набор, който не е броим. Теорема. Наборът от всички безкрайни двоични последователности, т.е. състояща се от 0 и 1, несметен. Доказателство. Да приемем, напротив, т.е. Тези последователности могат да бъдат преброени. Нека P1. Р2. - последователности, където Р1 = 11. a12. A13.>, Р2 = 21. а22. А23.> т.н. = Aij където Aij = 0 или 1. Ние се изгради поредица от P и не се съдържа в този списък. Такава последователност съществува, например, Р = 11. 1-A22. 1-A33.>. Очевидно е, че елементите, равни на 0 или 1, и не е равен на всеки друг от списъка, тъй като тя се различава от Р1 последователност най-малко първият елемент на P2 - поне второто, и т.н. По този начин, конструирана последователност е различен от всеки от изброените последователности на най-малко един елемент. Следователно, множеството от всички двоични последователности, номерирани невъзможно, което означава, че е несметен.Свързани статии